Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông, một phần quan trọng trong chương trình Toán 8 - Kết nối tri thức. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức cơ bản và các ứng dụng thực tế của các trường hợp đồng dạng, giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những bài giảng chất lượng, dễ hiểu và phù hợp với mọi trình độ học sinh.
Có các trường hợp đồng dạng nào của hai tam giác vuông?
1. Trường hợp góc – góc:
Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đồng dạng với nhau.
\(\begin{array}{l}\Delta ABC,\Delta A'B'C':\\\left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A'} = {90^0}\\\widehat B = \widehat {B'}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'\end{array}\)
2. Trường hợp hai cạnh góc vuông:
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.
\(\begin{array}{l}\Delta ABC,\Delta A'B'C':\\\left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A'} = {90^o}\\\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'\end{array}\)
3. Trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông:
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.
\(\begin{array}{l}\Delta ABC,\Delta A'B'C':\\\left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A'} = {90^o}\\\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'\end{array}\)
Nhận xét: Nếu \(\Delta A'B'C' \backsim \Delta ABC\) theo tỉ số k và AH, A’H’ lần lượt là các đường cao của \(\Delta ABC\) và \(\Delta A'B'C'\) thì \(\Delta A'B'H' \backsim \Delta ABH\) (do \(\widehat B = \widehat {B'}\)) theo tỉ số k và \(\frac{{A'H'}}{{AH}} = k\).
Trong hình học, hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu chúng có cùng hình dạng nhưng kích thước có thể khác nhau. Điều này có nghĩa là các góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau. Đối với hai tam giác vuông, có những trường hợp đồng dạng đặc biệt cần được lưu ý.
Hai tam giác ABC và A'B'C' được gọi là đồng dạng với nhau, ký hiệu là ΔABC ~ ΔA'B'C', nếu:
Có ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông:
Nếu ΔABC và ΔA'B'C' là hai tam giác vuông với góc A = góc A' thì ΔABC ~ ΔA'B'C'.
Chứng minh:
Vì ΔABC và ΔA'B'C' là hai tam giác vuông, ta có góc B = 90° - góc A và góc B' = 90° - góc A'. Do góc A = góc A', suy ra góc B = góc B'. Vậy ΔABC ~ ΔA'B'C' theo trường hợp hai góc bằng nhau.
Nếu ΔABC và ΔA'B'C' là hai tam giác vuông với AB/A'B' = AC/A'C' thì ΔABC ~ ΔA'B'C'.
Chứng minh:
Xét ΔABC và ΔA'B'C'. Ta có AB/A'B' = AC/A'C' và góc A = góc A' (vì cùng là góc vuông). Vậy ΔABC ~ ΔA'B'C' theo trường hợp hai cạnh tỉ lệ và góc xen giữa bằng nhau.
Nếu ΔABC và ΔA'B'C' là hai tam giác vuông với BC/B'C' = AB/A'B' thì ΔABC ~ ΔA'B'C'.
Chứng minh:
Xét ΔABC và ΔA'B'C'. Ta có BC/B'C' = AB/A'B' và góc B = góc B' (vì cùng là góc vuông). Vậy ΔABC ~ ΔA'B'C' theo trường hợp hai cạnh tỉ lệ và góc đối diện một trong hai cạnh bằng nhau.
Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học, đặc biệt là trong việc tính độ dài các đoạn thẳng và góc.
Ví dụ:
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 4cm. Gọi D là điểm trên BC sao cho BD = 1cm. Chứng minh rằng ΔABD ~ ΔCBA.
Giải:
Ta có BC = √(AB2 + AC2) = √(32 + 42) = 5cm.
Xét ΔABD và ΔCBA, ta có:
Tuy nhiên, ta có thể chứng minh ΔABD ~ ΔCBA bằng cách sử dụng tỉ lệ thức khác.
Việc nắm vững Lý thuyết Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông là rất quan trọng để giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả. Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết và giúp bạn tự tin hơn trong việc học tập.
Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để hiểu rõ hơn về các trường hợp đồng dạng và ứng dụng của chúng trong thực tế.
